傅里叶展开

迪利克雷条件

1. 有限个间断点
2. 一个周期里有限个极值点

\(f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\Sigma_{n=0}^{\infty}a_n cosnx+b_nsinnx\)

\(a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)cos nxdx\)

\(b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)sin nxdx\) # Laplace变换

傅里叶变换

我们知道傅里叶正变换 \[ 正变换:F(j\omega)= \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt\\ 反变换:f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(j\omega)e^{j\omega t}d\omega\\其前提是F(j\omega ) 收敛 \]

要求绝对可积

\[ 但是对f(t)=e^{-\alpha t}\varepsilon(t),\omega<0时候，显然不收敛\\为此，我们引入拉普拉斯变换\] 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的物理意义是先将信号函数衰减后，求它的频率密度谱

对不收敛的信号\(f(t)\),乘上收敛因子，得到 \[ g(t)=f(t)e^{-\alpha t}\]

因此, 便可对 \(g(t)\) 使用傅里叶变换, 其傅里叶变换为

$$ \[\begin{array}{l} G(j w)=\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) e^{-j w t} d t= \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-\sigma t} e^{-j w t} d t\\= \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-(\sigma+j w) t} d t=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-s t} =F(s) \end{array}\]

\其中s=+j\[ 只需要0，正无穷绝对可积 拉普拉斯正变换 \] F(s)=_{-}^{+} f(t) e^{-s t} d t, s=+j w\[ 即傅里叶是$\sigma=0$的拉普拉斯 拉普拉斯反变换 \]f(t)=g(t)e^{{t}={-}^{+} G(j) e{t}e{jt} d \[ \]f(t)={-}}{+} F(s)e^{st} d s\ ，如f(t)=e^{t}(t),>1$$

条件

1. 有限个第一类间断点，逐段光滑;
2. \(\exist K>0,c\ge0\),使得\(\left|f(t)\right|\le Ke^{ct}\)

运算法则

典型

• \(L\left[ e^{at}\right]=\frac{1}{p-a}\)

Tips:在半平面\(Re p> Re a\)上

• 线性 \[L\left[ \alpha f(t)+\beta g(t)\right]=\alpha L\left[f(t) \right]+\beta L\left[ g(t)\right]\]
• 相似定理

\[L\left[ f(at)\right]=\frac{1}{a}F(\frac{p}{a})\] - 位移定理

\[L\left[ e^{\lambda t }f(t)\right]=F(p-\lambda)\] - 延迟定理

\[L\left[ f(t-\tau)\right]= e^{-\tau p}F(p)\]

• 像函数微分

\[F'(p)=L\left[ -tf(t)\right]\]

\[F^{(n)}(p)=L\left[ (-1)^nt^nf(t)\right]\] - 本函数微分

\[L\left[f'(t)\right]=pF(p)-f(+0)\]

\[L\left[f^{(n)}(t)\right]=p^nF(p)-p^{n-1}f(+0)-p^{n-2}f'(+0)-\cdots-pf^{(n-2)}(+0)-f^{(n-1)}(+0)\] - 本函数积分

\[L\left[\int_0^tf(t) d t\right]=\frac{F(p)}{p}\] - 卷积 \[\int_{-\infty}^{\infty}f(x-\xi)g(\xi)d\xi 记作f*g \]

- 交换律
- 结合律
- 分配律
- 卷积定理

\[L\left[f*g\right ]=F(p)G(p)\]

\[L^{-1}\left[F(p)G(p)\right ]=f*g\]